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振動力學中的建模問題
發(fā)布時間：2021-03-11 瀏覽：1734次
振動研究中的首要環(huán)節(jié)是力學模型和數(shù)學模型的建立。
振動分析中一般都要通過測試與理論分析來建立力學模型。經(jīng)過不斷地修正，使一些工程中的振動問題獲得更精確的力學模型（理論的、數(shù)值的或實驗的力學模型）。對于一臺機器或一種工程結構的振動分析，首要的步驟是如何建模。由于它們本身組成的復雜性，外界載荷的復雜性、多樣性（相對靜載荷而言）及不可預見性（風載荷、地震載荷），為此建立振動問題力學模型時，必須根據(jù)需要解決的問題來考慮研究對象以及外界對它的作用，以便簡化為一個計算所用的力學模型。例如，對高層建筑作地震反應分析時，根據(jù)所研究的對象特點不同所建立的計算力學模型也不同。
剛性樓蓋高層建筑對采用現(xiàn)澆鋼筋混凝土樓板的體型規(guī)則的高層建筑，由于樓蓋的水平剛度很大，在確定結構動力特性（頻率、主振型）時，可采用串聯(lián)質點。
非剛性樓蓋高層建筑對采用鋼筋混凝土預制樓板的高層建筑以及體型復雜的高層建筑，需要考慮地震作用下各層樓蓋所產(chǎn)生的水平變形，因此在確定結構動力特性時，宜采用串并聯(lián)質點。
偏心結構高層建筑結構存在偏心時，即使在地震單向平動分量作用下，也會發(fā)生扭轉振動。此時若采用串聯(lián)質點系作為其力學模型，就不可能體現(xiàn)出這種扭轉振動的效果，而需采用串聯(lián)鋼片作為偏心結構高層建筑的振動分析力學模型。該模型中每層鋼片具有兩個正交的水平位移和一個轉角，共三個自由度，。眾所周知，不管機器或結構物會產(chǎn)生怎樣的振動形式，其主要的原因在于其本身的質量（慣性）和彈性。阻尼則使振動抑制。從能量觀點出發(fā)，質量可儲存動能，彈性可儲存勢能，而阻尼則消耗能量。當外界對系統(tǒng)做功時，系統(tǒng)質量吸收動能而獲得運動速度，彈性儲存變形而具有使系統(tǒng)恢復到原來狀態(tài)的能力。由于能量不斷地變換就使系統(tǒng)在平衡位置附近作往復運動。如果沒有外界始終不間斷地給系統(tǒng)質量輸入能量，那么，由于阻尼存在而消耗其能量，將使振動趨于停息。由此可見，質量、彈性和阻尼是振動系統(tǒng)力學模型的三要素。
所有實際機器和結構物元件的質量和彈性皆是連續(xù)分布的。若將實際上是連續(xù)分布的參數(shù)（如高層建筑、橋梁、齒輪和齒輪軸等）簡化成具有若干集中質量并由相應的彈簧或彈性桿和阻尼器聯(lián)結在一起的系統(tǒng)，此時振動系統(tǒng)的力學模型就有連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)兩種不同的計算力學模型。
可見，在振動分析中，力學模型的建立需注意以下幾點：
（1）根據(jù)研究目的，即需要解決什么問題。對實際結構進行分析，找到其特點。
（2）分清外界對研究對象的作用，判別是確定載荷，還是不確定載荷。在線性振動中，將不討論不規(guī)則載荷，這種載荷的作用將在隨機振動書籍中專門解決。
（3）考察研究對象是以空間、還是平面問題來進行研究；是以離散、還是連續(xù)系統(tǒng)來進行解決；是以一個自由度、還是多個自由度系統(tǒng)來進行處理。當力學模型建立之后，需建立系統(tǒng)參數(shù)（質量、彈性、阻尼）、激勵及響應三者之間的關系式，即數(shù)學表達式——運動微分方程式。
根據(jù)理論力學中的牛頓第二定律、動力學普遍定理、動靜法或拉格朗日方程建立離散系統(tǒng)運動微分方程。另外，再考慮材料力學中的單元、變形等概念，對連續(xù)系統(tǒng)建立運動微分方程。
對離散系統(tǒng)所建立的振動微分方程一般為二階常微分方程。當系統(tǒng)為多自由度系統(tǒng)時，則為二階聯(lián)立微分方程組。對連續(xù)系統(tǒng)所建的振動微分方程一般為偏微分方程。由于微分方程是系統(tǒng)振動行為的數(shù)學描述，為此根據(jù)微分方程人們便可清楚地了解其運動類型。這樣，若運動微分方程是常微分方程，那么系統(tǒng)一定是集中質量系統(tǒng)，即離散系統(tǒng)。若運動微分方程是偏微分方程，那么系統(tǒng)一定是連續(xù)分布參數(shù)系統(tǒng)，即連續(xù)系統(tǒng)。當運動微分方程是其次時，系統(tǒng)一定作自由振動，即在初始激勵后以系統(tǒng)的恢復力進行振動。若運動微分方程非其次的，則系統(tǒng)做受迫振動，即在系統(tǒng)上作用外激勵，系統(tǒng)受干涉力進行振動。當運動微分方程是線性的，那么系統(tǒng)為線性的；若運動微分方程是非線性的，則系統(tǒng)為非線性的。
從振動運動微分方程的自由函數(shù)的形式也可以判定系統(tǒng)振動運動的形式。若為簡 函數(shù)，則系統(tǒng)的響應（穩(wěn)態(tài)）也是簡函數(shù)；若為任意周期函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應也一定是任意周期函數(shù)；若為脈沖函數(shù)，那么，系統(tǒng)一定是瞬態(tài)振動；若為隨機函數(shù)，則系統(tǒng)一定是隨機振動。
求解微分方程是一件較為復雜的工作。對線性微分方程而言，一般對一、二個自由度系統(tǒng)，可用經(jīng)典方法求得封閉解，對高階線性微分方程需借用線性代數(shù)的方法，將聯(lián)立微分方程化為聯(lián)立代數(shù)方程，編寫計算程序在計算機上求解，以得出其近似解。對于偏微分方程將應用數(shù)理方程的方法，將偏微分方程化為常微分方程，并配合邊界條件進行求解。資料來源于振動力學作者高 淑 英，沈 火 明
